המודל הבינומי הסטנדרטי שפיתחו ג'ון קוקס, סטיבן רוס ומארק רובינשטיין בשנת 1979 מעריך שווי אופציות אירופאיות ואמריקאיות בשני שלבים: (1) בניית מודל להתפתחות מחירי המניה; (2) בניית מודל להערכת שווי האופציה.

 

בניית עץ בינומי למחיר המניה

הנחת העץ הבינומי לתיאור תנועת מחיר המניה הינה שמחירי המניה מפולגים נלוג-נורמלית וועוקבים תהליך איטו וכי תשואות המניה עוקבות תהליך ווינר כללי כדלקמן:

 

 

 

 

כאשר rt הוא שיעור הריבית חסרת הסיכון בזמן t,יdivt הוא שיעור הדיבידנד מהמניה, σt  היא התנודתיות הקצרה, dW הוא תהליך ווינר סטנדרטי (קרי, תנועה אקראית המייצגת את חוסר הוודאות לגבי תשואת המניה במשך הזמן האינפיניטסימלי/הקצרצר, dt) המפולג נורמלית עם ממוצע אפס ושונות dt.

העץ הבינומי הוא גרסה דיסקרטית של תהליך זה לצעד זמן t∆. הערכת השווי על ידי העץ מתכנסת לפתרון הרציף, כאשר t∆ שואף לאפס. המודל מניח כי תוחלת התשואה הצפויה מכל הנכסים הסחירים היא התשואה חסרת הסיכון. העץ נבנה כך שייצג את התנהגות המניה בעולם ניטרלי לסיכון (risk neutral).

יש לקבוע כי אורך חיי העץ ישתווה לאורך חיי האופציה. זמן זה יחולק לצעדי זמן בדידים וקצרים באורך t∆, שכל אחת מהן יסומן באות i, כאשר i = 0,1,...,N ויקרא איטרציה (Iteration). נניח, כי בכל צעד זמן t∆, מחיר המניה יכול לרדת מערכו ההתחלתי, S, לרמה חדשה, Sd, או לעלות לרמה חדשה, Su (כאשר d <1< u). העלייה היחסית של מחיר המניה כשישנה תנועה כלפי מעלה שווה u-1, והירידה היחסית שווה 1 פחות d, כאשר תנאי אי הארביטראז' הוא: u >[1+ y*(i,i +1)]>d. כאשר (y*(i,i+1 היא הריבית העתידית חסרת הסיכון בין איטרציה i לאיטרציה i+1 יחושבו d ו- u לפי המשוואות:

 

 

 

 

 

 

 

כאשר:

σ: תנודתיות מחיר המניה.

 

כדי לחשב את ההסתברות הניטרלית לסיכון לתנועה כלפי מעלה של מחיר המניה נגדיר משתנה חדש, השווה לערכו של נכס בעל תשואה חסרת סיכון באיטרציה הבאה:

 

 

 

ההסתברות הניטרלית לסיכון שמחיר המניה יעלה בכל איטרציה:
 

 

 

 

בזמן אפס, מחיר המניה, S, ידוע. כעבור צעד זמן אחד, t∆, אפשריים לפי המודל שני מחירי מניה: Su ו- Sd. כעבור שני צעדי זמן  אפשריים שלושה מחירי מניה: Su^2, Sd^2 ו- Sud. . ניתן לייצג את מחיר המניה בכל צומת החלטה של העץ הבינומי על ידי הביטוי (Su^(j) d^(i-j, כאשר i היא אינדקס מספר האיטרציות ו- j מייצגת את מספר העליות של מחיר המניה (כך ש- i-j מייצג את מספר הירידות של מחיר המניה). לאחר בניית העץ הבינומי המתאר את התפתחות מחיריה העתידיים של המניה, שהם הגורם האקראי במודל, נעבור למציאת שווייה ההוגן של האופציה.

 

 

בניית עץ לשווי האופציה
בעת פקיעת האופציה עומדות בפני מחזיק האופציה שתי אפשרויות: מימוש האופציה במניה או לאו. המחזיק יבחר את האסטרטגיה שתניב את הרווח הגבוה ביותר. בדוגמה הספציפית של אופציית רכש (call) ונילה אירופאית, נבחן במועד פקיעתה מהו הצעד האופטימלי -  מימוש האופציה במניה או לאו. שווי אהאופציה באיטרציה האחרונה, N, בצומת ההחלטה ה- j, יחושב באופן הבא:

                                                                     

           [Con (N , j) = Max [S (N , j) - X ,0                                         

כאשר: (S (N , j הינו מחיר המניה באיטרציה האחרונה, N, בצומת ההחלטה ה- j, ו- X הינו תוספת המימוש האפקטיבית. לאחר קביעת שווייה של האופציה בכל אחד מצמתי ההחלטה הסופיים "נגלגל" את האופציה דרך האיטרציות השונות שהעץ מכסה עד שנמצא את שווייה ההוגן של  האופציה בזמן הנוכחי.

באופציה אירופאית, כדאיות המימוש תיבדק רק בצמתי ההחלטה הסופיים של העץ (כלומר באיטרציה ה- N בלבד) ולא בכל האיטרציות העתידיות האחרות. לפיכך, שווי האופציה המחושבת במודל נאמד על ידי תהליך רקורסיבי ממועד הפקיעה למועד החישוב על בסיס צמתי ההחלטה במודל, כאשר בכל צומת החלטה שווי האופציה הינה התוחלת המהוונת של צמתי ההחלטה העוקבים.

באופציה אירופאית, כדאיות המימוש תיבדק לא רק בצמתי ההחלטה הסופיים של העץ (כלומר באיטרציה ה- N בלבד) אלא גם בכל האיטרציות העתידיות האחרות. לפיכך, שווי האופציה המחושבת במודל נאמד על ידי תהליך רקורסיבי ממועד הפקיעה למועד החישוב על בסיס צמתי ההחלטה במודל, כאשר בכל צומת החלטה מחזיק האופציה צפוי לבחור בגבוה מבין הרווח ממימוש האופציה באותה צומת החלטה לבין התוחלת המהוונת של צמתי ההחלטה העוקבים.

רועי פולניצר, בעלים של שווי פנימי - יעוץ בהערכות שווי וניהול סיכונים. Roi Polanitzer, the owner of Intrinsic Value - Valuation and Risk Management